这可是一个不小的问题。就我所掌握的知识而言，没有一个一般的求解反函数的方法。这里我只能给出一个反函数定理，该定理给出矢量场 局部可逆 的充分条件。
首先要明确的一个问题是：反函数定理是隐函数定理的一个重要推论。那什么是隐函数定理呢？我们来看看。
一个非线性的方程组：
是否对一部分 是显化的？即：
（隐函数定理）
设 为一个 矢量场，其中 是一个开集，且 。设变量是分离的，即 。设 ，使得 。 矩阵：
是正则的。则：
存在一个 的邻域 和一个 的邻域 且 ，以及一个唯一确定的函数 ：
在 上连续可微，且有：
下面我们来看一个例子。
设：
显然，一个使 的点为 。关于 的 矩阵为：
即说明关于 的 矩阵是正则的。则隐函数定理适用。则：
而
则：
我们得到了一个常微分方程：
解得：
以下的定理称为反函数定理。给出了矢量场在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的充分条件。
(反函数定理)
是一个开集。且设 是一个连续可微的映射。设 。 矩阵 是正则的。则
存在一个 的邻域 和一个 的邻域 ，使得 是双射的。
是连续可微的。或者说 是一个微分同胚。有：
设 :
请验证 在点 附近是可逆的。并且请计算函数 在 处的微分值。
