本质是什么？这是在问：数量积的结果(一个数字)是个啥意思吧？
这个数字有实在意义的。你说：奇了怪了，明明是两个向量相乘，咋结果却成了一个数字？匪夷所思吧？其实这事你早就遇到过，还算的麻溜。啥？力学里的求功啊！
一个作用力F，移动了一段距离L，做了多少功？小菜：W=F·L。对吧？这里F和L都是有方向的量。具体的计算是咋搞的？w=|F||L|cosθ，θ是F与L之间的夹角。我靠！从向量的角度看，这不就是妥妥的数量积么？w有意义么？太有意义了。难懂么？你笨啊？这么直白的意思？咋会难懂？可咋放到线代里，你就搞不懂了呢？
对于W=FL=|F||L|cosθ，单纯的数学语言就是：一个向量在另外一个向量上的投影长度与被投影向量的长度之乘积。只不过我们比较熟悉用|F||L|cosθ的表达式来理解这个结果，之前没有学过直接用向量F和L的分量来做对应项(同维项)做乘法然后加总的计算办法来得到这个结果。
在学到这个方法以后(向量数量积)，我们又觉得疑惑，这个直接用对应分量(同维数字)做乘法然后加总的办法咋会正好与我们熟悉的求功算法得到一样的结果呢？是必然的？还是碰巧了的？
这里有一个证明过程，说明两种算法的本质是一样的。这个结果在物理上有求功的例子可直观，在纯数学上就是两段模长的乘积。它也是勾股定律的扩展。
勾股定理知道的吧？它讲的是一个三角形的斜边长度与两条直边长度之间的确定性的数量关系。向量的数量积则反映了两个任意形状的直角三角形，它们的直边与斜边之间的确定的数量关系。θ是两个斜边之间的夹角。
这个与勾股定律的关系，教材和老师都不说的。有的是懒得说，有的是不知道。本答知道，又肯说。
补
与勾股定律啥关系？勾股定律是啥？一个直角三角形，斜边长度的平方等于两直边长度平方的和。这表达了一个直角三角形里斜边长度与直边长度之间的恒定关系。
改版1.两个相同的直角三角形，它们斜边的乘积等于它们对应直边的乘积和。这表达了两个相同直角三角形斜边长度的乘积与直边长度乘积之间的恒定关系。
改版2. 两个相似直角三角形，它们斜边的长度乘积等于它们对应直边的乘积和。这表达了两个相似直角三角形斜边长度的乘积与直边长度乘积之间的恒定关系。
改版3. 两个任意直角三角形，它们斜边的长度乘积乘上两斜边之间夹角的余弦等于它们对应直边的乘积和。这表达了两个任意直角三角形斜边长度的乘积与直边长度乘积之间的恒定关系。
你把直角三角形改为向量，把斜边改为模长，把对应的直角边改为分量，把斜边之间的夹角改为向量之间的夹角，这个由原初的勾股定律改版而来的叙述就走到了向量的点积(数量积，内积)。你们老师没这么说过吧？
