大部分回答都说了牛顿力学和分析力学之间的区别。我来回答一下哈密顿量，正则方程，以及拉格朗日量之间的关系吧。
如果我们把能量守恒认为是一个原理，想从能量角度刻画整个系统。那么它的数学形式是非常容易写出来的，就是，也就是定义在相空间上的一个标量函数。设是向空间中的一个点。下面要运动了。一般运动方程是这样一个形式
是一个矢量函数。回到一开始，我们想从来刻画整个系统，所以运动方程的形式应该是
这里把一个标量场变成了一个矢量场。那要把一共标量场变成一个矢量场，最直接的方法就是做梯度。猜测这个运动方程可能是
也就是图中的。
但从图中我们可以看到，你一个沿着梯度方向走的点，怎么说走等值线（保持不变）就走等值线了呢？也是很自然的，把转就好了。乘个旋转矩阵
就解决问题了，到这，我们的运动方程就变成了
写开啦就是
这个就是正则方程啦。
然后你又想，这算啥玩意嘛，看不见摸不找。还是喜欢速度。那就做一个勒让德变换
这就是拉格朗日函数了。
