散度和旋度其实都可以类比为流场的某种特质：
下面来细说。
理解散度之前，其实要先理解什么是通量。
我们来想象一个场景：
在一个水龙头周围用布扎一个口袋，然后打开水龙头，让水透过布口袋流出来。
那么通过布口袋流出来的水的总量，就是水的流场的通量：
其中， 是水流在布口袋上各点的流密度向量， 是布口袋上各点的法向量， 是布口袋上的面积微元
而根据常识我们知道，只要水龙头流出的水的流量一定(也就是源头产生的水量一定)，那么无论布口袋是什么形状，流出布口袋的水的总量都是一定的。
也就是说，通量只与闭合曲面所包围的体积内的源头产生的总量有关，而与闭合曲面形状无关。
接下来我们来说散度。
现在，我们假设这个水龙头可以缩到无限小，布口袋也可以相应地缩到无限小，小到布口袋包围的区域可以用体积微元 表示。
这个时候，我们来考察透过这个布口袋微元流出的水流量。
由于体积微元已经非常小，因此微元内每个点产生水的能力可以看成是均匀的，这样，流出体积微元的总流量就只与体积微元的大小有关，而与微元形状无关。
这样的前提下，我们不妨假设布口袋是一个长方体，相应的体积微元为：
假设微元的某个角P点位于 坐标上，它的对角Q点位于 坐标上。
它的边界是六个平面微元，现在我们来算一算它边界上的通量。
我们先来计算从P点处穿入 面元(体微元的下表面 )的水流量。
由于微元足够小，我们可以近似认为 面元上的流密度均匀，记为 ，于是穿入P点所在的 面元的通量为：
而从Q点所在 面元(体微元的上表面 )穿出的水流量也可以计算：
由于一个是流入，一个是流出，于是我们得到 方向水的净流出量：
根据同样的思路，我们可以算出 方向上的水的净流出量分别是：
这样，整个体积微元上的水的净流出量就是：
于是我们得到：
这样，散度 的物理意义就很清楚了，它就是单位体积流出边界的净流量(从体积微元边界流出的净通量 除以体积微元的大小 )
理解旋度之前，我们又要先理解环流量。
这两个量用流水来比喻不太直观，我们可以用电磁感应中感生电场和电动势的关系来理解。
法拉第电磁感应定律告诉我们，变化的磁场会产生一个涡旋电场，如果我们在涡旋电场中放一根闭合线圈，那么线圈上会产生一个感生电动势 。
这个电动势 ，其实就是涡旋电场 在闭合线圈上的积分：
其中， 是涡旋电场向量， 是线圈上各点的切向量， 是线圈上各点的长度微元
可以看出，右边的积分说的就是电场 在线圈曲线上的环流量。
直观地讲，电场越“旋”，产生的环流量、也就是感生电动势就越大。
那么，怎么描述电场有多“旋”呢？我们可以用电场在局部产生电动势的能力来考察。
我们可以把这个线圈缩小，缩小到它包围的区域可以看成一个面元 ，并且先假设线圈微元垂直磁场放置，产生的涡旋电场正好与线圈平行，并将线圈所在平面记为X-Y平面：
接下来，我们就来算一算这个线圈附近的电场和线圈上的电动势之间的关系。
计算思路其实比较容易理解：我们先分别计算电场在每条边上形成的电势差，再将四条边求和即可。
不过在计算过程中，我们需要特别注意电动势的方向和正负号之间的关系，为了防止在计算中晕头转向，我们需要首先明确：电动势的正方向为逆时针方向。
我们先来看最简单的AB边：AB的边长为 ，电势差为电场的 分量 与边长的乘积：
现在我们来看CD边：CD的边长仍然是 ，但它的 坐标和AB边相比会有一个增量 ，于是它的电场分量也有一个增量 ，于是CD边上的电势差为：
请注意，这里又出现了一个负号。
我们还是用本课开头提到的“电动势的方向”来理解：
电场在CD边上产生的电势差在线圈上是沿着顺时针方向的，与规定的电动势正方向(逆时针 )相反，因此它对整体电动势的贡献是负的，所以我们需要在前面加上一个负号。
根据同样的思路，我们可以求得DA边和BC边上的电势差：
四条边上的电势差之和，就是整个回路上的电动势微元：
这样，我们就可以算出这种特殊几何情形下(线圈位于X-Y平面 )的旋度大小：
这个式子中已经包含了旋度和微元环流量之间的关系了，但我们现在讨论的旋度其实只是一个方向上的分量。
接下来我们来看更立体的情形。
高数课本告诉我们，旋度可以看成一个向量，它的方向定义可以理解为有旋场的“旋涡”所在平面的法向量。
而刚才的例子中，有旋电场所在平面是X-Y平面，所以相应的旋度方向就是 方向，于是这种特殊情况的旋度向量表达式就是：
同理可知，如果电场和面积微元是在Y-Z平面上，那么旋度就是：
在Z-X平面上，旋度就是：
而如果电场不与任何坐标平面共面，我们就将电场在三个坐标平面上分解，分别求得旋度后，再重新求和(因为旋度是向量，满足向量的求和规则 )。
于是旋度的表达式就变成了：
考虑到 以及叉乘的定义，我们就可以将上式简写为：
这就是我们熟悉的旋度公式了。
散度和旋度(以及它们背后的高斯公式和斯托克斯公式)其实还可以在更深层次的意义上统一起来，有兴趣的同学可以看看我的另外两篇科普文：
