当人们对各种力做功进行计算的时候，有一类力做功具有特殊的鲜明特点，功的大小只和物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关，我们把这一类力称之为“保守力”( ）。我们在中学阶段所学习的重力、弹簧弹力、万有引力与电场力都是保守力。
功是能量变化的量度。某个力对物体做功了，物体相应的能量就发生改变了。我们该怎么表述这种保守力做功时所对应的能量呢？由于保守力做的功和路径无关，只取决于始末的相对位置，所以呀，一定存在某一个由相对位置决定的状态函数。这个由相对位置决定的状态函数，我们称之为系统的势能函数，简称为“势能”（ ）。所以，在中学阶段，我们的重力势能、弹性势能和电势能都是简写为 的。
（这个势能英文单词中 的含义是潜在的，所以势能我们也可以理解为是一种潜在的能量。比如，一个物体放到很高的位置上，它就具有很大的重力势能，但是它这个重力势能是潜在的，还没有得到释放。如果你把这个物体从高处丢下来，它的重力势能就转化为了动能了。再比如，一个弹簧被压缩到很短，它拥有很大的弹性势能，你如果一松手，弹簧的弹性势能就得到了释放。）
保守力做功等于其势能的减少量（势能增量的负值），表示为 。
通俗的讲，就是保守力做正功，势能减小；保守力做负功，势能增大。
（这个公式很重要！很重要！很重要！为了凸显它的重要些，我们姑且把它称之为“势能定理”，这样它的排面就不输给动能定理了，哈哈。“势能定理”可以推出各个保守力对应的势能表达式，具体的证明过程和解释过程，我们留到后面具体的例子再讲~）
【特点】
重力做功只和物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关。
【证明】
如下图所示，现在有两种移动小球的方式。第一种，一个质量为 的小球从初始位置 移动到中间位置 ，再移动到最终位置 。第二种，一个质量为 的小球从初始位置 直接移动到最终位置 。试证明两种移动方式中重力做功是一样的。
……①
……②
……③
……④
我们看到①式等于④式，这说明两种移动方式中重力做功一样，即重力做功只和物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关。
【重力势能的影响因素】
重力是地球与地球上物体的一种相互作用。与此同时，高度也是相对于地面来说的。所以，重力势能（ ）既和物体和地球之间的相互作用 有关，也和物体与地球的相对位置 有关。我们可以取地面为势能零点，即地面的高度就为零，地面处物体的重力势能也为零。
【重力势能的表达式】
重力势能的表达式：
【重力势能的表达式推导】
由 重力做功中的④式，有 。根据“势能定理”，有 。所以， 。所以，我们推导出了重力势能的表达式 。
物体的高度升高，重力势能增大，重力做负功；
物体的高度降低，重力势能减小，重力做正功。
（我们把一个物体举高高，从直观上感受一下，它的某种能量一定在增大。对了，也就是重力势能在增大。重力竖直向下，物体被举高，位移与重力之间的夹角 为钝角，重力做负功 。所以，物体的高度升高，重力势能增大，重力做负功。）
弹力做功只和物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关。
【弹性势能的影响因素】
弹簧处于被压缩或者被拉伸状态会具有能量，这种能量我们称之为弹簧的弹性势能（ ）。弹性势能和弹簧的弹力有关，又与弹簧的形变量有关。
【弹性势能的表达式】
弹性势能的表达式：
【弹性势能的表达式推导】
我们作一个（弹簧弹力 形变量 ）的函数图像。这个函数图像的面积就代表了弹簧弹力做功的绝对值，也就是弹簧弹性势能增量的绝对值。
我们来试着求一下这个图像的面积，在图像上任取一点，那么面积就是三角形的面积。三角形的面积用二分一乘以底再乘以高，底就是形变量 ，高就是此时形变量所对应的弹簧弹力 。所以，三角形的面积为 ，即弹性势能的表达式： 。
弹簧的形变量增大，弹性势能增大，弹力做负功；
弹簧的形变量减小，弹性势能减小，弹力做正功。
（弹簧的形变量增大，从生活的直观经验也应该知道弹簧的弹性势能增大了，当然从弹簧的弹性势能公式也能判断出来。弹簧的弹力做什么功呢？我们来看一下，弹簧的形变量增大，有可能是弹簧被拉伸得更长，也有可能是弹簧被压缩得更短。第一种，弹簧被拉伸得更长，弹簧弹力与被拉伸反向相反，即弹簧弹力与位移方向相反，弹簧弹力做负功。第二种，弹簧被压缩得更短，弹簧弹力与被压缩方向相反，即弹簧弹力与位移方向相反，弹簧弹力做负功。弹簧的形变量减小的情况，同学们可以自行推导一下~思路和刚才是一模一样的。）
引力势能虽然在中学阶段并不涉及，但是有时候可能会作为题目的已知条件直接告诉我们，顺着保守力做功和势能的思路，把引力势能攻克掉也不是很难。
引力做功只和物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关。
仿照重力做功和重力势能，我们同样给万有引力引入引力势能（ ）的概念。我们取无穷远处为引力势能的势能零点。
【引力势能的表达式】
引力势能的表达式：
【引力势能的表达式推导】
如下图所示，两个星体的质量分别为 和 。现在质量为 的星体从 位置运动到 位置，我们来分析一下万有引力做的功和引力势能的变化情况。
质量为 的星体在不同位置的时候，与质量为 的星体距离也不同。那么，我们就不能直接用恒力做功的公式来求解了，需要用到微元法的思想。万有引力做的总功就等于一小份一小份的功加起来。质量为 的星体受到的万有引力水平向左，位移水平向右，受力方向和位移方向相反，万有引力做负功，所以功是负的。
根据 势能定理，有 ，所以 。所以，我们就推导出了引力势能的表达式 。
卫星的高度升高（星体间的距离增大），引力势能增大，引力做负功；
卫星的高度降低（星体间的距离减小），引力势能减小，引力做正功。
（从引力势能的表达式 ，我们知道引力势能一直都是负的。当 趋近于无穷大 的时候，引力势能趋近于 ，也就是说无穷远处的引力势能就是零。当卫星的高度升高或者是星体间的距离增大，即 ，引力势能就增大，相当于引力势能负的越来越小。这时候，卫星或者星体所受的万有引力和位移方向相反，万有引力做负功。）
只和物体的始末位置有关，而与所经历的路程无关。
【电势能的概念】
电荷在电场中一定的位置处，具有一定的电势能（ ）。功是能量变化的量度，我们通过做功来反映物体能量的变化。所以，我们把电场力对于电荷 做的功 作为电荷 在 、 两袋奶电势能改变的量度。
【电势能的表达式】
电势能的表达式：
【电势能的表达式推导】
为了推导的方便，我们取匀强电场中某一电荷 从 点运动到 点作为研究对象。而实际上，电势能的表达式不仅适用于匀强电场，而且也适用于非匀强电场。我们只研究匀强电场是为了在中学阶段推导的方便而已。
从 点运动到 点，电场力做功 。根据“势能定理”，有 。所以，我们有 。这样我们就推导出了电势能的表达式 。
正电荷的电势升高，电势能增大，电场力做负功；
正电荷的电势降低，电势能减小，电场力做正功。
负电荷的电势升高，电势能减小，电场力做正功；
负电荷的电势降低，电势能增大，电场力做负功。
（根据电势能表达式 ，如果电荷是正电荷，那么 就是正的，所以 越大， 就越大。根据“势能定理”， ，电势能增大，自然的电场力就做负功。所以，正电荷的电势升高，电势能增大，电场力做负功。如果电荷是负电荷，那么 就是负的，所以 越大， 就越小。根据“势能定理”， ，电势能减小，自然的电场力就做正功。所以，负电荷的电势升高，电势能减小，电场力做正功。）
我们先介绍了保守力与势能的相关概念，然后从“势能定理”（ ）出发，依次推导了重力势能、弹簧弹性势能、引力势能与电势能的表达式。其中，重力势能的推导是最简单的，因为重力的大小方向都不变，属于恒力做功。直接用恒力做功（ ）就可以推导出来了！弹簧弹性势能的推导要复杂一些，因为弹簧的弹力它是一个变力，但是因为弹簧弹力和形变量是线性关系（ ），所以直接用图像的面积表示弹簧弹力做功就可以解决。万有引力的引力势能表达式推导是最复杂的，因为它不仅是变力，而且还不是线性关系，必须要用微积分才能推出来。同理，电场力的电势能表达式推导也是这样，但是在高中推导的时候，用匀强电场的特殊情况来推导会简单一些。
从重力势能表达式的推导到弹簧弹性势能表达式的推导，再到引力势能表达式的推导，势能表达式推导的复杂程度和思维难度是慢慢加大的。
首先，保守力做功与势能（功能关系）能够帮助学生对重力、弹力、万有引力和电场力的做功与势能的理解拔高到一个新的层次，对保守力做功和其势能变化的对应关系有了更加通透和丝滑的理解。
其次，一些高中阶段的拓展题其实已经涉及到了引力势能和弹簧弹性势能的表达式，这里通过对保守力做功和势能变化的讲解，能够顺便把引力势能和弹簧弹性势能的表达式进行一个补充，从而使得整个知识体系架构更加完善和系统。
最后，高中生接受保守力和势能的概念是没有太大难度的。
