要严格回答这个问题，首先你得知道什么是有序域。
当一个集合 中定义了两种二元运算（分别称为加法和乘法，但不一定是实数的加法和乘法；二元指的是运算需要两个元素来参与）之后，该集合 便可称作一个“域”。
那么什么样的运算才可以称为 中的加法和乘法呢？需要这两种运算满足以下3点。
一、加法公理
这条公理只针对加法提出，加法公理由以下5条构成。
（1）对于 中的任意两个元素 ，有 的结果仍在 中。
（2）加法满足结合律，即对于任意三个元素 ，有 。
（3）加法存在单位元，用0来表示，即对于任何元素 ，有 。
（4）加法存在逆元， 的逆元用符号 来表示，即对于任何元素 ，总是存在唯一的元素 ，使得 。
（5）加法满足交换律，即对于任意两个元素 ，有 。
二、乘法公理
这条公理只针对乘法提出，乘法公理由以下5条构成。
（1）对于 中的任意两个元素 ，有 的结果仍在 中。
（2）乘法满足结合律，即对于任意三个元素 ，有 。
（3）乘法存在单位元，用1来表示，并且乘法单位元不等于加法单位元，即对于任何元素 ，有 。
（4）除了加法单位元0之外，乘法存在逆元， 的逆元用符号 来表示，即对于任何元素 ，总是存在唯一的元素 ，使得 。
（5）乘法满足交换律，即对于任意两个元素 ，有 。
※乘号通常可以省略， 简写成 。
三、分配律
这条公理是针对加法和乘法同时提出的，只有1条。
（1）乘法对加法满足分配律，即对于任意三个元素 ，有 。
※由于乘法和加法都满足交换律，上面的分配律也可以写成 。
再来看看序关系。
在集合 中定义一个二元全序关系，满足以下3条。
（1）对于任意两个元素 ，不等式 或者 一定成立其中一个。
（2）对于任意三个元素 ，如果 ，那么 。
（3）如果（1）中的两个不等式同时成立，那么 。
其中如果 且 ，那么称 。
所以，所谓的有序域就是指同时定义了加法、乘法运算和序关系之后，满足以下两条的集合。
（1）对于任意三个元素 ，如果 ，那么 。
（2）如果上面的 ，那么 。
现在来回答你的问题。
1.证明 。
根据加法公理3， ，所以 。
根据分配律， 。
所以 。
根据加法公理4， 存在加法逆元 。
在等式 的两边同时加上 ，得 。
根据加法公理4，等号的左边等于0。
根据加法公理2，等号的右边等于 。
根据加法公理4，中括号内的部分等于0，所以等号的右边等于 。
根据加法公理3，等号的右边等于 。
所以 。
2.证明 。
根据加法公理3，结论成立。
3.先证明两个引理。
（1）如果 ，那么 。
反证法，假设 。
因为 ，根据乘法公理4， 存在乘法逆元 。
在等式 的两边同时乘以 ，得 。
根据问题1，等号的右边等于0。
根据乘法公理2，等号的左边等于 。
根据乘法公理4，括号内的部分等于1，所以等号的左边等于 。
根据乘法公理3，等号的左边等于 。
所以 ，矛盾。
（2）如果 ，那么 ；如果 ，那么 。
当 时，根据有序域的定义1， 。
根据加法公理3、4，得 。
同理可证另一个结论。
3.1当 时，有 ，且 。
根据有序域的定义2， 。
根据问题1， ，所以 。
根据引理1， ，所以 。
3.2当 时，有 且 。
根据加法公理4， 存在加法逆元 。
根据引理2， 。
根据问题3.1， 。
根据有序域的定义1， 。
根据分配律，不等式的左边等于 。
根据加法公理4，括号内的部分等于0，所以不等式的左边等于 。
根据问题1，不等式的左边等于0。
根据加法公理3，不等式的右边等于 ，所以 。
根据引理1， 。
3.3当 时，有 且 。
根据加法公理4， 存在加法逆元 。
根据引理2， 。
根据问题3.2， 。
根据有序域的定义1， 。
根据分配律，不等式的左边等于 。
根据加法公理4，括号内的部分等于0，所以不等式的左边等于 。
根据问题1，不等式的左边等于0。
根据加法公理3，不等式的右边等于 ，所以 。
根据引理1， 。
