周期函数的定义： 是定义在 上的函数，若存在非零常数 ，满足
以上是我们中学时所接触的定义。事实上，周期函数与圆周的拓扑性质有关。
我们完全可以将周期函数等价地定义为：圆周上的函数。
显然，选择圆周上任意一点，从某时刻 开始沿着圆周匀速旋转，每当我们经过周期时间 而回到先前的出发点，其所对应的函数值都是同一个。
这和拓扑有什么关系？
定义 上的等价关系：若 ，即 与 相差一个整数（此时周期为 ），我们就说 商去这个等价关系后得到的商拓扑空间同胚于圆周，记为 .
由我们中学所学的三角函数线可知， 都是定义在单位圆上的函数，结合上面所述它们都是周期函数。
我之前写过一篇文章——
简单汇集了一下关于连续函数周期是否存在的常见问题。
另外补充一点：两函数复合时 ，如果 是周期函数，则 是周期函数。当然 的定义域要包含 的值域。结论成立原因通过我们上面的分析立即得出： 是定义在圆周上（拓扑意义）的函数。
迪利克雷函数没有最小正周期，因为任何非零有理数都是周期。
关于它，我们从拓扑角度去理解，就是引入无穷多个互素的周期：全体素数倒数。
也就是说上图的定义域螺旋可以逐渐卷紧，逼近一条直线。而对于存在最小正周期的函数，其定义域螺旋具有刚性，无法进一步收缩。
