我们要搞清楚，矩阵相似的定义是什么。假设有两个矩阵 。我们说这两个矩阵相似，当有一个可逆矩阵 使得:
可以说， 相似的充分必要条件就是存在一个可逆矩阵 使得上式得到满足。相似矩阵是很重要的概念，矩阵们也有他们的家庭，如果我们认为相似矩阵 属于同一个家庭的话。它们还满足什么性质呢？
特征值完全相等，特征向量为
Proof:
当 矩阵相似，且： 。则一定存在 特征向量 ，其中 为 的特征向量，且对应于特征值 。显然:
这意味着 对应的 的特征值也为
(证毕)
这代表着同为一家的矩阵，自家的口径就相同了。虽然相似矩阵的特征值是相同的，但是切莫认为它们的特征向量也是相同的，而应该是 。一个家庭往往存在一个祖宗，或者一家中最具有代表性的成员，在矩阵家庭中，它就是对角矩阵。
来复习复习矩阵的对角化，使用特征向量矩阵 ，将 对角化为矩阵 :
可不要认为任何一家矩阵都可以做得到对角化，就像是现实中的家庭有的条件富裕，有的则比较一般。存在对角矩阵的家庭条件很好，这些条件请见矩阵可对角化条件，特征向量线性无关条件
请看下面这个矩阵:
显然，任何的可逆矩阵 都会导致 ，这种矩阵家庭条件就不好，只能养活一个人。Jordan发现，要想让这种矩阵家庭也能有其他家人，就必须给它加点什么东西，变为:
这就是Jordan标准型(Jordan Canonical Form)。读者可以自行检查， 和 具有相同的特征值，可是只有 能够有其他相似矩阵作为家人， 就只能孤独终老。
