你好。
你这是假的以偏概全，我这才是真·以偏概全。
现有一个我感兴趣但未知的事情，比如我一位朋友的前男友的剩余阳寿 。而他的生存函数，我无法直接观测，只能通过一些线索，样本数据 来推断。
而由于各种各样的原因，我得到的是长度有偏抽样（length-biased sampling）。
——正常人看来，注定要“垃圾进，垃圾出”了。
但丢垃圾是计算机科学家的事情，我们搞统计的，绝不放过垃圾桶里好看的垃圾！
即便是个有偏抽样，我照样能算UMVUE（一致最小方差无偏估计）！
首先，我需要对原始数据进行无损压缩，使统计量能包含样本中关于未知参数 的全部信息，即，构造充分统计量（Sufficient Statistic）。
由于充分性的概念本身是基于给定样本数据的似然函数的，定义中并没有对抽样方式进行要求。因此，统计量 是否是参数 的充分统计量，取决于样本 的联合概率密度函数或概率质量函数，也就是似然函数 。
尽管有偏抽样改变了我观察到的数据的概率分布，改变了似然函数的形式，但充分性的基本原理以及寻找充分统计量的方法，比如因子分解定理，仍然适用于基于有偏样本的似然函数。
理论上，我依然可以为有偏抽样构造充分统计量。
根据Neyman-Fisher 因子分解定理 (Factorization Theorem)，当且仅当似然函数可以分解为 的形式时， 是 的充分统计量。其中 函数依赖于 且仅通过 依赖于数据 ， 函数不依赖于 。
假设原始目标总体的分布密度为 ，有偏抽样引入了一个权重函数 ，它可能依赖于 ，甚至可能依赖于 。观察到的样本实际上来自一个新的分布
其中 是归一化常数，它可能依赖于 。
因此，基于观测到的有偏样本 ，似然函数变成了
此时，因子分解定理仍然适用。我们仍然可以尝试对这个新的似然函数 应用因子分解定理。
如果能找到一个统计量 ，使得 可以分解为 的形式，那么 就是在有偏抽样模型下关于 的充分统计量，这个充分统计量 包含了有偏样本中关于 的所有信息。
我们也就完成了以偏概全的一步。
现在，我为这位朋友的前男友选择一个比较标准的生存函数
也就是他的阳寿随机变量 服从参数为 的指数分布，其概率密度函数为 ，对于 。相应的，剩余生存时间（剩余阳寿）的生存函数
现在，长度有偏抽样的权重函数为 ，归一化常数 ，观察到的样本来自长度有偏分布： ，。
这是一个 分布。
基于 个来自 的独立观测 ，似然函数为
令 ， ， ，得到
。
在该长度有偏抽样的指数分布模型下，样本总和 是 的一个充分统计量。
接着，检查充分统计量 对分布族是否为完备的。即，对于任何函数 ， 对所有 成立能够推出 对所有 成立。
由于 是一个单参数指数族，因此 是完备的。
现在，寻找基于 的无偏估计。此时，我们需要找到 使得 。
而 ，其概率密度函数为 。
考虑 。计算其期望：
积分部分为
所以，
为了使期望等于 ，我们需要 ，解得 ，其中，假设 ，这对于样本量 成立。
因此， 是 的一个无偏估计量。
由于 是完备充分统计量，且 是基于 的 的无偏估计量，所以，由Lehmann-Scheffé 定理， 就是在长度有偏抽样指数分布模型下，参数 唯一的 UMVUE。
于是，我这位朋友的前男友剩余生存时间（剩余阳寿）分布的估计就是：
当然，注意到，构造出的 UMVUE 是针对原始参数 的估计，但其形式和推导过程依赖于有偏抽样模型，UMVUE 的存在性并不总是得到保证。
即使存在，寻找 或计算条件期望 在数学上可能非常复杂，尤其是当 不是指数族或者 不完备时。
换而言之，这位朋友的前男友的剩余阳寿……可能……嗯……
这，就是完美的真·以偏概全了！
希望对我的每一个朋友都有所帮助。
