今天发现下面有位答主列出了室町幕府和江户幕府的一些职役。但题主问的显然是战国大名的情况，那时候室町已名存实亡而江户还没成立，列出两任幕府的职役对本问题似乎并无帮助。
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首先要明确一点，日本战国时代同时存在了许许多多的势力，体制都有所区别，甚至有些小势力连一个正式的体制都没有。同一个词在不同语境下有着完全不一样的意思，这是十分常见的。
所以谈到这个词语的时候，很多时候并不是用的本意，而是引申出来的一种约定俗成的称谓。
普遍来讲，战国中前期的行政体系十分混乱，后期则越来越接近秩序。
家老：
顾名思义，即家臣中的长者。其他如宿老、家宰等称呼的意思也差不多。
由于政权基本等同于大名的私产，故而家臣长者也就是政权中的高级管理人员。
具体来说——就不太好说了。
有的大名家，很清晰知道，某某某担任了家老，主要负责某方面的任务。
一般这种详实的记录都是安桃乃至江户时代的，算是战国末期吧。比如织田家各军团长分别负责不同方向的攻略与“取次”。
而有的大名家，虽然指出了家老的人选，但具体司职分派是不明确的。
比如，后北条有所谓“御由绪家”这么一说，大致可认为是那个阶段的家老人选，但这个人选如何产生，又具体如何运作，这个是不清晰的。
更多的势力里面，本身结构松散，加之记录不多，并没有明确谁是家老，只是通过史料分析，列出几个权力较大，被主君信重的家臣，后人习惯性称之为“家老”。这就如同像把内阁首辅称作宰相一样。
比如在说到播磨守护赤松家，我看到有人把祝融轩周登称之为家老，但其实只是发现他在一些重要文书上的署名，推测他应该是当时重臣，这里的“家老”只是一个约定俗成的称谓了。
大部分情况下，家老是某个势力里仅次于主君的高层，一般担任辅佐主君或者单独负责一个次要方向的任务。
广义来说，战国大名里面，排名前几位的重臣都可以称作“家老”，似乎没什么问题。
奉行：
原意是，奉主君之名去完成一件任务。
后来引申为事务官的意思，具体含义在不同背景有较大区别。
在战国时代，由于大名家并没有严格的官僚系统，所以奉行这个词基本涵盖了所有领域，有可能是临时设定也有可能是长期担任，甚至不一定是文官。
比如朝仓家的”军奉行“就是一个很重要的武官角色。
其地位和权力如何，自然也要看当事人负责的职事是否重要。
到江户时代，幕府和大部分藩国的"奉行"转为中高层文官的专属称谓，但也有一些特例存在。
若出现在大和剧中的话，我个人猜测，大部分语境下，取的就是“中高级文官”的含义吧。
城主：
这个看上去很简单了，一城之主即是。
但解释其实际含义却非常复杂。
据学者统计，在日本战国时期，有明文记载的“城”不少于两万座。
而当时全日本的人口，推测是800万到1600万之间。
很显然，这其中绝大部分现在看来只是简陋的小砦罢了，但是在当时，依然可以叫做“城”。
一个能被称作城主的人，可能只有上百个领兵，十几个护卫，也可能有几万领民，战时能征召数千军队。
所以，只说“城主”，而不说明白是哪座城的城主，这个是没什么意义的。
传说宇喜多直家守乙子城的时候只有足轻30人，也就跟一个结寨自守的村长差不多。
然而——
到了江户时代，“一国一城令”实施之后，能够被称为“城主”的人，大部分都是各藩大名，剩下也都是有地位的人物。
这个称呼的来源之一是——
江户幕府将全国各大名分为五个档次：国主，准国主，城主，城主格，无城。
很多时候人们说“城主”的时候，其实是在说“城主级大名”。一般是1-10万石的大名。
然则这个词语明明是江户时代诞生的，用在战国时代的大河剧里显然是不行的。
来源之二——
某些法度比较严明的势力，会对领内城池进行管理，禁止家臣私自筑城。那么能在这种势力里担任城主的，多半都是一门众或高级家臣。如果一个中低层受封城主，自然是极大的荣耀。
另一个来源则是游戏了
在光荣系列的游戏里，全日本加起来也才一两百座城，那么能担任一城之主的肯定是有些地位的人了。
如果玩家玩的游戏是“战国史”的话，可能就会有不一样的感觉了。
那么，当大河剧里用来“城主”这个词的时候，到底在表达个什么意思呢？
我个人猜测，这个语境是用于安土桃山政权的。
安桃政权由于领地特别广阔，所以许多家臣得以获得大块领地的封赏。有些时候人们会比照着江户幕府时期的等级制度，将领地1-10万石，而又不满一国的家臣称作“城主”。
也许答主看的大河剧里就是这个用法吧。
顺带一提城主和城代经常被人混淆。这两个东西差距是非常大的。
举例：
织田信长在攻略北伊势之后，让泷川一益做安浓津城的守备，但并没有把这座城和附近的领地封给泷川一益，所以这个时候泷川只是城代，而不是安浓津城的城主。这块领地的赋税劳役不属于他而属于他的主君。
此时泷川自己的领地在蟹江城。由于他跑到前线去为自己的主君守门，他也可能在自己的家臣里选一个出来担任蟹江城的城代。
2年后安浓津城被信长封给了他弟弟织田信包，于是泷川短暂的城代生涯结束，信包成为安浓津城城主。
由于国内读者对层层分封的制度不熟悉，经常有人会分不清二者的区别。
当然日本其实也并非某些人想象中的完全意义上的封建制。其实欧洲大部分时期大部分地区也都不是。
