我这里倒是有一个不直观的证明[1]。
给出 Nyquist-Shannon 采样定理之前，我们先给出几个定义，以方便后期证明。
首先一些基本的定义请参看我的这一篇回答[2]。
一个函数 称为（带宽） 有界的，当成立：
时。其中 为 的 Fourier 变换。
定义算子：
如果 ，进而 。其中 为全体一致连续且一致有界的实函数构成的向量空间。
定义 为从 到 上的所有连续映射构成的向量空间。
以及 函数定义为：
现在我们给出 Nyquist-Shannon 采样定理：
设 为一个 有界的映射。设 。则成立：
为采样频率。
式 为上述证明中的要点。现在我们单独将它取出来：
这个式子将映射 的 Fourier 变换的周期延拓与采样序列的 Fourier 变换关联起来。当 充分大，使得 的支撑集包含 时，函数将通过叠加部分被混叠，此时 不能被完整重构。
