闲来扯扯淡。数论中就有很多有意思的结论，今天来聊聊函数。我们知道函数可以延拓到全平面，并且对所有正整数都有。然而函数在负奇数处的取值却有着很有意思的算术性质。比如根据函数的functional equation可以知道是正的，是负的，并且它们都是有理数。如果我们我们把写成既约分数的形式，于是我们有如下神奇的结论：
1. 素数整除当且仅当整除。
2. 如果整除，那么我们有 。
那么根据这两个结论那么我们可以完全了解的分母了。不过的分子就比较复杂了，比如我们可以简单的计算前面若干个的值，
显然分子不会有形如分母这样好的结论，不过通过大量的计算我们会发现分子会重复出现同样的素因子：
比如的分子都被整除。于是我们可以有如下猜测：
如果素数整除，那么整除。
事实上我们有如下更强的kummer's congruence:
假设不是的倍数，如果,那么我们有
当然仅凭这个同余式是不足以描述清楚的，事实上关于，我们还有很多不知道的信息。不过上面这个同余式却开启了另外一扇大门，一扇从复数的世界通向-进世界的大门。根据这个同余式，我们可以在-进世界中定义一个类似于复数世界中的函数的东西，就是所谓的-进函数，这便通往了Iwasawa理论。
我第一次看到这些东西的时候就被震撼到了，数的世界真是太神奇了！
