本人虽为教师，但教的是高中数学而不是高等数学，曾给学生上过四维图形的内容，但以惨败告终。
以下内容如果涉及高数内容有错误，还请各位大侠指正~
------------------比较无聊的理论铺垫------------------
首先要知道什么是维度。
数学中的维度指的是独立变量的个数，有这个变量，如果不存在不全为零的数列,使得,我们就说这个变量是独立的。
例如显示屏上的颜色一般用RGB三个变量来表示，因为这三个变量是独立的，所以我们可以说用RGB表示颜色是三维数据。打印的时候一般用CMYK来表示，这又是独立的四个变量，我们可以说用CMYK表示颜色是四维数据。需要注意，不是所有变量都是独立的——比如三围。
我们一般情况下说的一维表示直线，二维表示平面，三维表示空间，其实指的是变量和点之间的意义对应
如图所示一条直线，我们只要有一个变量，就可以表示图像上的任意一个点
同理很容易推广到用两个变量表示平面上任意一个点，用三个变量表示空间中任意一个点
那么问题来了，什么样的空间需要用四个变量、甚至五个变量来表示呢？
CMYK就是四维空间，常见的图片格式需要用两个独立的变量表示点，用三个独立的变量表示颜色(RGB)，我们可以称之为五维空间。
当然这个答案不可能大家满意，用时间神马的来表示第四个维度看起来更高大上，不过这个已经脱离了纯数学的范畴，也脱离了大多数人的理解能力，所以我们只能换个方法来理解高维空间了。本人知识有限，就讲讲四维空间吧。
活在三维空间的我们很难理解四维空间，就像夏虫不可语冰一样，所以接下来我们要对四维空间上的图形释放大招——降维打击
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方法一：透视
本质上我们课本上出现的任意立体图形的直观图都是降维，我们看到的仅仅是一个二维图形，而因为人是生存在三维的，所以很容易通过光影效果或者辅助线判(nǎo)断(bǔ)出这是个立体图形。那么我们如何画出一个四维，乃至于五维图形的透视图呢？
试着采用最简单的数学猜想
最简单的零维图形——1个点
最简单的一维图形
先给出两个点，连接两点构成一条线段
得到一条线段
最简单的二维图形
先给出三个点，任意两个点进行连接，得到条直线
得到一个三角形
最简单的三维图形
先给出四个点，任意两个点进行连接，得到条直线
再画一下简单的辅助线，进行立体透视
得到了一个四面体
所以如果要得到一个最简单的思维图形，只要依照上面的方法，给出五个点
，然后任意两个点连接，得到条线
恭喜，我们获得了最简单的四维图形——单纯形(Simplex),又称五胞体
我们也简单地处理一下，让图像显得立体化，并顺便看看单纯形旋转时在三维空间透视
当然，这种方式看起来并不直观，所以我们得尝试用其他方式
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方法二：展开
五胞体并不太规则，接下来的篇幅我主要用超正方体(Tesseract,又称正八胞体，是正方形，立方体在四维上的推广)来解释
展开很好理解，大家在小学的课堂就学习过立方体的展开
通过这种方式可以把三维的立方体降维成二维的图形
那是不是可以通过类似的方式将四维的超正方体
降维结果如下
值得一提的是，就像立方体展开为平面图形有多个方法一样，四维超正方体的展开方式也有261种
这里和大家分享一下展开的动图，反正我是没看懂= =
这个方法还是不够直观，有没有更好的方法呢？
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方法三：切割
想象我们将一个立体图形推过一个平面，会得到无数个截面，这也是降维的一种方式
如图所示，将一个立方体推入平面当中，我们将一直得到正方形的图像。
参照这个方法将超正方形推入三维空间，我们将一直得到正方体的图像。
图就不给了，很容易想象到空间中突然出现一个正方体，然后突然消失的画面（= =我才不会告诉你是因为我找不到图）
当然，就像在把正方形推入平面我们不一定平着推，可能斜着推一样
会得到很特殊的图像，我们来看看超正方体“斜着”推入三维空间我们会看到什么
动图点这里：
通过这个方法也还是很难想象四维图形，还有没有更好的方法？
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方法四：奥义·投影
如图所示，一个正方体内接于一个球内，以球顶为顶点，画一条经过球的射线，必然与地面相交。这样我们就够着出了一个三维立体图形和二维平面点的一一对应。当然这个球可以旋转
即便如此，我们依然可以通过平面上的图形简单地判断出，正方体有六个面，六个顶点，12条棱。
通过一样的方法，将超正方体放入四维球体当中，投影到三维空间，我们得到了这个图像
我们可以看出，它有16个顶点， 32条棱。当然，四维图形除了点、棱之外，还有面和胞
这样就能轻(jiān)松(nán)地识别出四个共面的顶点构成的平面，和八个共胞顶点构成的胞了吧。
笔者了解方法基本上就是以上几种，通过降维用三维图形来表示四维图形，至于五维图形。理论上也可以降维到三维，但差别已经太大了，在晚上也找不到类似的材料。
答到这里才注意到题主问的是四维空间和五维空间，好像打偏了= =就当我回答四维欧几里得空间吧。
参考资料：
1.系列科普视频《维度·数学漫步》
2.维基百科关于超正方体的词条：
