为了表述准确并统一记号，先重新叙述以下众所周知的定义：
定义（子式、 阶子式）：设 为任意 阶矩阵，（保序地）选取 的任意 行与 列（交叉处的元素）组成一个方阵，其行列式称为 的一个 阶子式；设 是这 行的行标，而 是这 列的列标，可将这一 阶子式记为 。当 时，选取一行与一列所形成的方阵即是 中的某一元素 ，其行列式为 ，此时将这个 阶子式简称为元素 的子式，记作 。
定义（余子式与代数余子式）：设 为任意 阶方阵，而 是 的一个 阶子式；定义 为 去掉第 行与第 列后所剩 阶方阵的行列式，称之为 的（ 阶）余子式；而带有符号 （其中 ）的余子式 则称为 的（ 阶）代数余子式。
拉普拉斯定理涉及的是行列式按照行/列的展开问题，教科书上通常有两种主要的形式：
定理一（行列式按照一行/列展开）：设方阵 ，则 ；其中 是元素 的余子式，而 元素 的代数余子式。
定理二（行列式按照 行/列展开）：设方阵 ，任取下标为 的 行（不失一般性，设 ），则 。
作两点简要的说明：
为了使定理的证明过程清晰流畅，现将其中的关键步骤作为以下一系列引理，先行证明如下：
引理一：若 ，则 。
证明：因 ，又因为 是 的第 列中唯一的非零元素，故对于 阶置换群 中的置换 ，若 则矩阵元 ；那么 。考虑到由满足 的全体置换 所组成的集合正是集合 上的置换群 ，即得——
。■
引理二：设 , ；而 为 阶置换群 中的单位置换，则递归地定义一系列置换 如下：
那么有如下结论——
i）每个 的符号 ；
ii）；
iii） ；
iv）特别地，在置换 作用于 之后，排在 后面的元素保序。
证明：对 进行归纳。当 时，特殊情况下（ ）的结论是显然的；而一般情况下（ ）该置换是——
这一系列对换的效果是将 同左边的相邻元素对换 次，显然结果如此；此外，经此置换，排在 后面的元素依次为 ，显然保序。现归纳地假定引理结论对 成立，考虑 的情形。由于 的定义依赖于 ，依归纳假设，一般情况下的 ，且一般情况下——
，将其作用于 ，得到—— 这一系列对换的效果是将 同左边的相邻元素对换 次，显然结果如此；此外，经此置换，排在 后面的元素依次为 ，依归纳假设，它们保序。故归纳假设成立，引理得证。■
引理三：设 , ； 且 。那么，此置换可以延拓至 ，即存在 且 使得 ；并且两置换的符号（奇偶性）一致，即 。
证明： 的构造如上所给出，存在性显然。对于两者的奇偶性，考虑置换 的任一逆序 ——即 且 。依 的构造， ；故 且 ，即 也是 的逆序。设 是置换 的逆序数，则 的符号为 ，且可由 个对换 生成[1]；显然，这 个对换也是 的一个对换表示。由于置换的符号（奇偶性）不依赖于具体的表示，故 的其他表示与 的符号（奇偶性）相同（均为 ），因此 与 两者的符号（奇偶性）是一致的，即 。■
定理一虽然是定理二的直接推论/特殊形式，但可以通过行列式的完全展开式以及行列式的基本性质（多重线性、斜对称性…）得以证明（从而无需使用定理二）：
设 ，则——
【注：第二个等号用到了行列式关于列的多重线性，第三、四个等号分别用到了行列式关于列与行的斜对称性（参考引理二中给出的置换，分别对列与行使用 次和 次），最后两个等号用到了引理一。】
■
第二条定理的证明涉及关于置换的一些技巧。先从一个较易证明的特殊情形开始：
命题（行列式按照前 行展开）：设方阵 ，取前 行（下标为 ），则 。
证明：在 阶行列式 的完全展开式 中，共有 个两两不同的项；而等式右边的 与 分别为 阶及 阶行列式，各自的展开式中分别有 及 个两两互异之项，代入行列式的完全展开式，得到 ——（1）
【注：其中 和 分别为子式和余子式的列标，不失一般性地，假设 及 。】。
由于与 各自涉及的矩阵元交集为空，故（1）式右边可以进一步展开：
——（2）
，且 。
如果能够证明： ——（*），则命题即可得证。
考虑（*）式两边，如本证明开头所述——
显然，左右两边项数相等，即 ；进而，如果能在 中找到 中的每一个元素，那么命题即可得证。
鉴于 与 中的元素皆由置换 唯一地给定，那么只要考虑置换本身在矩阵元脚标上的作用即可。
第一步，考虑 的任意元素 ，其对应的置换为—— 。设 的唯一升序排列为 （ ）， 的唯一升序排列为 （ ），则置换 （ 皆如引理二所定义）的结果为 （注意，由于 ， 均保持 之后元素的升序，故经过 这一系列置换之后，第 个位置上的元素已经自然地处于 的唯一升序排列 的状态了）。显然，由于置换 ，其符号为——
。
第二步，在 的基础上，根据引理三可知存在置换 使得 ，同时仍由引理三得知，这一置换 在 上的限制为某一 ，使得 ，且两者符号相等。
第三步，在 的基础上，根据引理三可知存在置换 使得 ，同时仍由引理三得知，这一置换 在 上的限制为某一 ，使得 ，且两者符号相等。
通过以上三步，可知置换 可表为 三者的复合，即 ，这意味着符号 。
综上，可见对于 中的任意一个元素，均有 中的某个元素与之相等（无论是乘在一起的矩阵元，还是符号，皆完全一致），那么 ；另一方面，由于 ，故 ，适足所欲。■
现考虑定理的一般情形，对于方阵 之下标为 的 行（不失一般性，设 ），显然可以通过引理二的置换将其移至前 行，得到矩阵 ，这为行列式 增添了一个符号因子 ，即 。约定 的子式、余子式与代数余子式的字母记号均带撇，则有 ，。依照以上命题给出的特殊情形将行列式 按照前 行展开，得到—— 。
定理二证毕。
