现在的不少回答，包括课本上对庞加莱回归和热力学第二定律的矛盾似乎都主要在强调这个回归的时间很长，这类观点在 @傅铁强 的如下回答中被仔细分析过
我想强调一个大家很少提到的点，那就是庞加莱回归对thermodynamical limit下的系统没有任何有用的implication。
通常在物理课本中，庞加莱回归和熵增的矛盾往往归结于一个很模糊的说法：庞加莱回归表明充分长时间后系统的状态和初始条件可以"任意接近"；而状态任意接近的时候，熵肯定也应该"任意接近"，因此庞加莱回归和熵增有明显的矛盾。
我接下来会解释，这种基于小系统获得的物理直觉对热力学极限下（也就是无穷多自由度）的系统是完全误导的。实际上，上面那一段的那个论证中，第一句话需要澄清，而第二句话对大系统而言直接是错的。
首先，正如
这个问题下面大多数答主都提到，庞加莱回归是相体积意义下的回归，具体来说，考虑一个初始条件 （ 是相空间），取一个以 为中心，体积为 的ball[1] ，那么经过足够长时间 的时间演化 满足 ，也就是说体积意义上相点和初始条件又非常接近了。这里有些能量有限或者紧性的要求我姑且不去写了。对于小系统，体积意义上接近和距离意义上的接近显然是一回事。但对于大系统却并非如此。
现在考虑特别简单的情况 ，上面equip标准的度量和标准的辛结构，我们注意到 中一个球的体积为 ，那么它的半径 满足 这里考虑了 的热力学极限。可以看出热力学极限下，两个所谓“隔得很近”的点，它们的空间距离是正比于 的，并不是人们心中以为的“隔得很近”。
这也是为什么有些数学家和物理学家尝试建立量子版本的庞加莱回归并没有非常成功，参考[2]，他们需要假设能谱是离散的，这对多体系统是个根本不现实的假设。我们注意到哪怕是经典的庞加莱回归也并不保证两个态在距离的意义下很接近，而只是体积意义下的接近；而他们考虑的量子庞加莱回归却是拿两个态矢量的距离来衡量的，和经典的庞加莱回归压根没什么关系，这个标准强太多了。
其次，哪怕真的两个态的距离隔得很近，也不能推出它们的熵差别很小。关于熵的连续性，最著名的结果是Fannes–Audenaert inequality[3]：对于任意两个维度为 的密度矩阵 和 ，它们的von Neumman entropy满足不等式
其中
是概率分布 的（Shannon）熵，
是密度矩阵 的（von Neumann）熵，这里 为 的特征值，
而
是两个矩阵之间的trace distance。注意，两个态的trace distance很小，其物理意义是这两个态上计算任何observable的期望值差别也很小。
可以看出，当自由度趋于无穷，也就是(2)中 的时候，熵关于量子态并不是一个连续函数；因此对于大系统，哪怕两个态的trace distance很小，熵也不一定很接近；更何况庞加莱回归没办法保证trace distance很小。
因此，在我看来，庞加莱回归对热力学并没有任何implication；庞加莱回归和熵增定律表面上的矛盾来自于人们错误地把基于小系统的直觉推广到大系统，换言之，它来源于语言的误用。
