设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，即$2a=16$，可得$a=8$，
又因为离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{34}}{3}$，
所以$c=\frac{8\sqrt{34}}{3}$，${b}^{2}={c}^{2}-{a}^{2}=\frac{1600}{9}$，
所以双曲线的表达式为：$\frac{{x}^{2}}{64}-\frac{9{y}^{2}}{1600}=1$，
因为瓶口直径为$20cm$，即可知瓶口最右侧横坐标为$10$，
将$x=10$代入双曲线可得$\frac{100}{64}-\frac{9{y}^{2}}{1600}=1$，解得$y=\pm 10$，
所以颈部高度为$20cm$，
故选：$B$.
