只要证明，在一致度量下，对于任意的精度 ，存在一个序列的临界指标 使得对于任意的 均有 成立即可。其中 表示一致度量，表示的是
这个结论可以用在连续有界函数列空间中，因为这个空间是完备的，从而其中的Cauchy序列和收敛序列等价。Cauchy序列的好处在于不需要指出极限是什么就可以知道极限是否存在。
不过这个题目是逐点收敛而非一致收敛的，否则极限函数应当是连续的。此处的逐点极限函数为 对于在区间 中的点，利用夹逼准则和自然指数的极限 即可证明，对于 的结论是平凡的。
对于区间外部的点，对于正的 上述极限发散(或者依序拓扑收敛)到 ; 对于 我们会得到一个有界振荡序列 ; 对于 我们会得到无界振荡序列。对这些点，函数列均不是逐点收敛的。
注：逐点收敛的同义词有“点态收敛”或者“点列收敛”，它们是一样的东西。
