1.匀速圆周运动向心加速度的推导
匀速圆周运动中的向心加速度公式an=v^2/r=w^2*r=vw。下面对该公式进行推导。
如上图所示，假设经过很短△t，速度变化如上图所示，
△v=v*θ（当θ很小时，弦长无限接近于弧长）
或者，△v=2v*sin（θ/2）=2v*（θ/2）=v*θ（当θ很小时，sinθ无限接近于θ，另外，当θ很小时，tanθ也无限接近于θ，下文会用到。）
另一方面，由线速度定义可知，r*θ=v*△t，从而得到θ= v*△t/r。
根据加速度定义，a=△v/△t=v*θ/△t= (v* v*△t/r)/△t=v^2/r。
根据线速度与角速度关系v=w*r，推导得到：an=v^2/r=w^2*r=vw。
2.静摩擦力提供向心力方向的判别
如下图，一小木块在圆盘上随着圆盘一起做顺时针匀速圆周运动，问小木块受到的摩擦力方向如何？
解：小木块与圆盘之间无相对运动，故小木块受到的摩擦力为静摩擦力，且该静摩擦力刚好提供小木块随圆盘一起匀速圆周运动的向心力，故指向圆心。
但是，有学生提出这样的疑问：
假设圆盘突然变成光滑的，那么小木块应该沿着切线飞出，根据静摩擦力与运动趋势相反，那么小木块应该受到沿切线与速度反向的静摩擦力。
问题出在哪里？
我们重新回顾一下，摩擦力的方向：摩擦力总是阻碍相对运动或相对运动趋势，即摩擦力的方向与相对运动或相对运动趋势相反。关键点在两个字：相对！注意，摩擦力不是与运动或运动趋势相反，上面例子中，小木块沿切线飞出是运动趋势，不是相对运动趋势。
我们再仔细回想一下，这里的相对究竟是相对谁，即以什么为参考系？
以上图这个简单的例子作一说明，木块B向右运动，问木块A受到的摩擦力方向，显然木块A受到向右的摩擦力，为何？因为木块A相对木块B向左运动。
因此，研究一个受力物体受到摩擦力方向的时候，是以施力物体为参考系的，受力物体相对施力物体向左或有向左运动的趋势，则受力物体受到的摩擦力向右。
再回到上面圆盘的例子，取俯视图分析，以圆盘为参考系，木块相对圆盘的运动方向。
如上图所示，当木块在A位置时，圆盘突然变成光滑的，则假设经过很短的时间△t，木块从位置A运动到位置B，而圆盘转动从位置A到位置a，且线段AB长度等于弧长Aa，设为L。则∠AOa=L/OA，tan∠AOB=L/OA,当时间很短角度很小时，由tan∠AOB=∠AOB，所以∠AOB=L/OA，从而得到∠AOa=∠AOB，即OaB在一条直线上，从而得到木块相对圆盘的运动方向为a指向B，即沿半径远离圆心，从而根据摩擦力方向与相对运动趋势相反，得到摩擦力方向指向圆心。
