如果我们想定义一个函数使得它的导数等于它自己，即定义函数使得，那么要如何定义呢？
由于可微，于是在上解析，因此可以将在原点处展成幂级数，设
对求导得到
要使得，那么有，即，这样就得到了序列的递归定义。令(也可以用其他的值)，那么，因此
由于，因此(1)式中的幂级数的收敛半径是，这样就定义了一个函数满足要求。
我们把这个在整个上解析的函数（整函数）叫做指数函数，定义复指数函数为
根据上面的讨论，我们有。指数函数还有另一个重要的性质。
将限制在实数上，就得到了实指数函数
定义Euler数为
实指数函数还有另一种表示：
命题. 对于每个实数，有。
因此对于实数，和表示同一个函数，这就是为什么。
